(Illustration des suites arithmético-géométriques)
(suite de « Toto l'aspirant à la ploutocratie »)

Toto ayant résolu la petite énigme édictée dans le testament du Tonton d'Armorique parti ad patres vient d'accéder à la ploutocratie : il est devenu richissime. Aujourd'hui, nous avons affaire à un grand expert de numismatique et brasse les valeurs fiduciaires à tour de bras. À son tour de jouer le tonton « pawnbroker¹ » (dur l'atavisme !).

Il a un neveu Toto junior, alias Titi, qui n'est pas un cadeau ! Titi est un pauvre hère particulièrement dispendieux (un véritable panier percé et endetté jusqu'au cou, ah le boulet !!) qui attend désespérément un geste de mansuétude et de munificence de la part de son tonton Toto. Notre Toto qui n'a jamais été enclin à l'oblativité (traduction du narrateur : qui pense à lui avant les autres) ne saurait rester nonobstant insensible face aux lamentos et mélopées plus ou moins psalmodiques de son Titi non adulé… Faut dire que le Tonton d'Armorique avait laissé quelques engrammes subliminaires dans les esprits et avait pris soin d'enseigner à notre Toto les règles du népotisme familial (traduction du narrateur : on sert les copains d'abord) – un vrai parrain feu Tonton…

Toto décide donc après réflexion d'allouer un crédit à son Titi avec la condition sine qua non d'en faire bon usage et de trouver le moyen de s'enrichir avec la somme prêtée. Aidons notre humble Titi à accomplir cette mission (la quête du Graal…).

Toto prête à Titi la somme \(S_0\) au taux mensuel \(r\) (\(r=\frac{a}{1200}\) si le taux annuel est \(a \%\)) pour une durée de \(N\) mois. Calculons la mensualité à rembourser.

En notant \(S_n\) la somme restant à rembourser au bout du \(n\)-ième mois, on a la récurrence \(S_n=(1+r)S_{n-1}-m\). Solution : \(S_n=(1+r)^nS_0-[(1+r)^n-1]m/r\). A l'échéance, Titi aura tout remboursé : \(S_N=0\), ce qui donne la mensualité : \(m=r\frac{S_0}{1-1/(1+r)^N}\).

Maintenant supposons Titi plus malin qu'il n'en a l'air : plutôt que de rembourser ses dettes, il place la somme empruntée à Toto à la caisse d'épargne au taux mensuel \(s\) (\(s=\frac{b}{1200}\) si le taux annuel est \(b \%\)). Habituellement les intérêts se calculent chaque quinzaine, mais nous ferons simple… Cela lui rapporte à l'échéance la somme \(S_0\,[(1+s)^N-1]\). Titi aura fait jeu gagnant si les taux \(r\) et \(s\) vérifient l'inégalité \(S_0\,[(1+s)^N-1]>Nm-S_0\).

Exemple numérique : \(a=5 \%\) (taux annuel du crédit) et \(b=2,7 \%\) (taux annuel minimum du bon placement à trouver) sur \(N=1\) an donnent un jeu gagnant.

Question irrévérencieuse posée par un membre de l'assemblée : « mais si Titi place l'argent emprunté, comment fera-t-il pour le rembourser ? »
Réponse du narrateur : « il y avait naturellement une petite arnaque ! Disons que Titi disposait d'autres fonds… »

Ajout supplétif après la représentation : Titi ne pouvant plus assurer son autarcie a dû se dégoter un CDD dont les revenus mensuels lui permirent de rembourser son crédit…

1. ¹ ↑ Pawnbroker est le terme anglais désignant un prêteur sur gages