(illustration de la loi géométrique)

Un fumeur en état d'assuétude exacerbée cherche à allumer une cigarette. Dans un élan irrépressible, à l'instant même où il enfile frénétiquement une main capricante dans sa gibecière à la recherche désespérée de quelque allumette, se déchaînent les éléments : bref, l'apocalypse est imminente et sera immanente ! Mais notre fumeur est bien décidé à ne pas apostasier…
Il dispose d'une boîte de \(n\) allumettes et chaque allumette a une probabililité \(p\) d'allumer la cigarette.

Nous sommes alors confronté aux problèmes cornéliens suivants :

1. Quelle est la probabilité que le fumeur arrive à allumer sa cigarette ?
2. Quelle est la loi de probabilité du numéro d'apparition de la première allumette qui arrive à allumer la cigarette ?
3. Quelle est la loi de probabilité du nombre d'allumettes utilisées ?

Réponses :

1. La probabilité qu'aucune des \(n\) allumettes n'allume la cigarette est \((1-p)^n\), et alors celle d'allumer la cigarette est \(1-(1-p)^n\).
2. Soit \(X\) le numéro d'apparition de la bonne allumette « deus ex machina ». La variable aléatoire \(X\) a pour valeurs possibles \(1,2,\ldots,n\) et éventuellement une valeur fictive, disons 0, dans le cas où aucune allumette n'allumerait la cigarette. La loi de \(X\) est donnée par \(P(X=k)=(1-p)^{k-1}p\) pour \(1\le k\le n\) et \(P(X=0)=(1-p)^n\).
3. Soit \(Y\) le nombre d'allumettes utilisées. La variable aléatoire \(Y\) a pour valeurs possibles \(1,2,\ldots,n\). La loi de \(Y\) est donnée par \(P(Y=k)=(1-p)^{k-1}p\) pour \(1\le k\le (n-1)\) et, dans le cas où toutes les allumettes sont utilisées (les \((n-1)\) premières n'allument pas la cigarette et la dernière allume ou non la cigarette), \(P(X=n)=(1-p)^{n-1}\).

Bonus track : quid d'un nombre infini d'allumettes (loi géométrique) ?