(illustration des fractions rationnelles)

Toto a un tonton d'Amérique richissime qui vient d'aller ad patres, laissant un héritage colossal. Toto se découvre tout d'un coup un autre héritier (putatif ?) totalement méconnu qui vient réclamer sa part.
Mais Tonton (pas Toto) avait tout prévu car il avait pris soin de rédiger dans son testament un codicille suspensif stipulant in extenso que tout héritier surnuméraire, disons Toto 2nd, qui oserait prétendre à quelque part que ce soit devrait résoudre une énigme posée par Toto (disons Toto 1er) s'il veut acquérir sa part et éviter la déshérence.
Toto 1 er qui entend bien s'arroger subrepticement une part léonine, et pour qui une forfaiture ou félonie n'est jamais de trop, fit mine d'accepter, magnanime, la règle du jeu et pose à Toto 2 nd le problème suivant :
Je te reverserai ta part de \(N\) € si tu me dis de combien de façons je peux le faire avec le stock (supposé infini) de pièces de 1€ et de 2€ que Tonton nous laisse.
La bonne réponse est \(\frac{N+1}{2}+\frac{1+(-1)^N}{4}\) qui vaut \(\frac{N+2}{2}\) lorsque \(N\) est pair et\(\frac{N+1}{2}\) lorsque \(N\) est impair (décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle \(\frac{1}{(1-X)(1-X^2)}\))…

Bonus track : reprendre le problème lorsque Tonton laisse un pactole de pièces de 1, 2 et 3 € (décomposer \(\frac{1}{(1-X)(1-X^2)(1-X^3)}\), bon courage !).