(illustration des suites arithmético-géométriques)

Il fut un temps où, pendant les fêtes de Noël, on diffusait à profusion sur les écrans de télévision des Mickeys. De nos jours face à la pénurie de Micheys, je me dois d'y remédier. Mais rappelons que Mickey a pris sa retraite.
Heureusement, il nous laisse ses potes les anatidés : Donald et Picsou.
Rappelons que Picsou est l'illustre ploutocrate plénipotentiaire de la mégalopole Picsouville, expert en numismatique, orfèvre des valeurs fiduciaires.
Picsou a un neveu sans le sou : Donald. Notre pauvre hère, au bord de la ruine, n'a pas d'autre choix que de faire un emprunt auprès de son banquier préféré Tonton Picsou.
Picsou accepte très (trop ?) volontiers de faire crédit, mais ayant toujours cette propension compulsive et incoercible à quelque malversation, prévarication et autre concussion, la prudence est de mise.
Aidons notre pauvre Donald à ne pas se faire rouler dans la farine. Passons donc aux mathématiques :
Donald emprunte la somme \(S_0\) au taux mensuel \(r\) (\(r=\frac{a}{1200}\) si le taux annuel est \(a\) %) pour une durée de \(N\) mois. Calculons la mensualité à rembourser.
En notant \(S_n\) la somme restant à rembourser au bout du \(n\,\)-ième mois, on a la récurrence \(S_n=(1+r)S_{n-1}-m\). Solution : \(S_n=(1+r)^nS_0-[(1+r)^n-1]\frac{m}{r}\).
A l'échéance, Donald aura tout remboursé : \(S_N=0\), ce qui donne la mensualité : \(m=\frac{rS_0}{1-1/(1+r)^N}\).

Bonus track : quid de l'assurance et autres frais annexes, puis du TEG ?