(illustrations des suites de Fibonacci)

Elmer spécialiste de cynégétique (Elmer le chasseur) à une vieille dette envers Bugs Bunny qu'il n'arrive jamais à attraper… Mais il s'est promis la décimation de la descendance du lapinos. Chez Bunny, la règle de reproduction est légèrement curieuse : Bunny a deux descendances qui s'étalent sur deux générations consécutives…
(Amphi : interviennent M. Millon et M. Colliva : « M'sieur ! enfin, ce sont des lapins ! ». Le prof. : « Et alors, ce sont des lapins de Fibonacci, 1202 ! »)
L'histoire ne parle pas des femelles, ne vous en offusquez point mesdemoiselles, ce n'est pas du machisme, ce n'est seulement que de la scissiparité… On trouve sur une même ligne de génération des tontons et des neveux. (Amphi : remarque de M. Tain : « ça sent l'inceste ! ». Le prof. : « Nooon, il n'y a pas d'autocroisement, pas d'inceste !! »)
Se pose alors le problème cornélien pour notre Elmer : combien de cartouches (en supposant qu'il fasse mouche à tous les coups) lui faudra-t-il utiliser pour arriver à la décimation de la \(n\)-ième descendance ?
Mathématiques : notons \(u_n\,\) le nombre de descendants de la \(n\,\)-ième génération. Chaque lapin descend d'un lapin de la génération antérieure ou de celle d'avant, d'où la récurrence \(u_n=u_{n-1}+u_{n-2}\,\) avec \(u_0=u_1=1\,\).
Solution : \(u_n=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n+1}\right]\).

Bonus track : paraît que c'est un entier…