(illustration de la loi géométrique)

Un fumeur en état d'assuétude exacerbée cherche à allumer une cigarette. Dans un élan irrépressible, à l'instant même où il enfile frénétiquement une main capricante dans sa gibecière à la recherche désespérée de quelque allumette, se déchaînent les éléments : bref, l'apocalypse est imminente et sera immanente ! Mais notre fumeur est bien décidé à ne pas apostasier…
Il dispose d'une boîte de n allumettes et chaque allumette a une probabililité p d'allumer la cigarette.

Nous sommes alors confronté aux problèmes cornéliens suivants :

1. Quelle est la probabilité que le fumeur arrive à allumer sa cigarette ?
2. Quelle est la loi de probabilité du numéro d'apparition de la première allumette qui arrive à allumer la cigarette ?
3. Quelle est la loi de probabilité du nombre d'allumettes utilisées ?

Réponses :

1. La probabilité qu'aucune des n allumettes n'allume la cigarette est (1-p)ⁿ, et alors celle d'allumer la cigarette est 1-(1-p)ⁿ.
2. Soit X le numéro d'apparition de la bonne allumette « deus ex machina ». La variable aléatoire X a pour valeurs possibles 1,2,…,n et éventuellement une valeur fictive, disons 0, dans le cas où aucune allumette n'allumerait la cigarette. La loi de X est donnée par P(X=k)=(1-p)^k-1p pour 1≤ k≤ n et P(X=0)=(1-p)ⁿ.
3. Soit Y le nombre d'allumettes utilisées. La variable aléatoire Y a pour valeurs possibles 1,2,…,n. La loi de Y est donnée par P(Y=k)=(1-p)^k-1p pour 1≤ k≤ (n-1) et, dans le cas où toutes les allumettes sont utilisées (les (n-1) premières n'allument pas la cigarette et la dernière allume ou non la cigarette), P(X=n)=(1-p)^n-1.

Bonus track : quid d'un nombre infini d'allumettes (loi géométrique) ?